二叉树的概念及性质

二叉树的概念

简单地理解，满足以下两个条件的树就是二叉树：
1. 本身是有序树(左子树、右子树)；
2. 树中包含的各个节点的度不能超过 2，即只能是 0、1 或者 2；

例如，图 1a) 就是一棵二叉树，而图 1b) 则不是。

二叉树的性质

经过前人的总结，二叉树具有以下几个性质：
1、二叉树中，第 i 层最多有 2^i-1 个结点。
2、·如果二叉树的深度为 K，那么此二叉树最多有 2^K-1 个结点。
3、二叉树中，终端结点数（叶子结点数）为 n₀，度为 2 的结点数为 n₂，则 n₀=n₂+1。

满二叉树：
如果二叉树中除了叶子结点，每个结点的度都为 2，则此二叉树称为满二叉树。

满二叉树除了满足普通二叉树的性质，还具有以下性质：

1. 满二叉树中第 k层的节点数为 2^k-1 个。
2. 深度为 k 的满二叉树必有 2^k-1 个节点 ，叶子数为 2^k-1。
3. 满二叉树中不存在度为 1 的节点，每一个分支点中都两棵深度相同的子树，且叶子节点都在最底层。
4. 具有 n 个节点的满二叉树的深度为 log₂(n+1)。

完全二叉树：

如果二叉树中除去最后一层节点为满二叉树，且最后一层的结点依次从左到右分布，则此二叉树被称为完全二叉树。

如图 3a) 所示是一棵完全二叉树，图 3b) 由于最后一层的节点没有按照从左向右分布，因此只能算作是普通的二叉树。

完全二叉树除了具有普通二叉树的性质，它自身也具有一些独特的性质，比如说，n 个结点的完全二叉树的深度为 ⌊log₂n⌋+1。

n个结点的完全二叉树的叶结点个数是

完全二叉树的数组表示法

对于任意一个完全二叉树来说，如果将含有的结点按照层次从上到下，左到右依次从1开始编号，并以编号作为数组的下标，存放到一维数组中。

对于任意一个结点 i ，完全二叉树还有以下几个结论成立：
当 i>1 时，父亲结点为结点 [i/2] 。（i=1 时，表示的是根结点，无父亲结点）
如果 2*i>n（总结点的个数） ，则结点 i 肯定没有左孩子（为叶子结点）；否则其左孩子是结点 2*i 。
如果 2*i+1>n ，则结点 i 肯定没有右孩子；否则右孩子是结点 2*i+1 。