解析：完善程序-2

信息学奥赛历年真题 2022年NOIP提高组真题解析：完善程序-2

有两个容器，容器 1 的容量为为 a 升，容器 2 的容量为 b 升；同时允许下列的三种操作，分别为：

FILL(i)：用水龙头将容器 i(i∈1,2)i(i∈1,2) 灌满水；
DROP(i)：将容器 i 的水倒进下水道；
POUR(i,j)：将容器 i 的水倒进容器 j（完成此操作后，要么容器 j 被灌满，要么容器 i 被清空）。

求只使用上述的两个容器和三种操作，获得恰好 c 升水的最少操作数和操作序列。上述 a、b、c 均为不超过 100 的正整数，且 c≤max{a,b}。

这道题其实是一道数学题，虽然据说微软的面试考过这道题。数论中，有一个裴蜀定理（ Bézout’s identity），说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d，一定存在整数x，y，使ax+by=d成立。
因此，只要满足z是GCD(a, b)的倍数，即可捣鼓出z升水。GCD(a, b)代表x，y的最大公约数。

两桶分水的规律就是：
大桶没水了，就把大桶接满水
大桶有水，就往小桶倒水
小桶满了，就把小桶倒了，重新让大桶向小桶倒水

例如：一个3 公升的提捅，一个5 公升的提捅，如何才能准确称出4 公升的水？

也可以用穷举法。穷举法实现比较方便，其基本思想是用：用小桶容量的倍数对大桶的容量进行取余。比如3升的桶和5升的桶得到4升水可以这样做：

3 % 5 = 3

6 % 5 = 1

9 % 5 = 4

成功得到4升水。（PS：上面的过程用如何用文字描述了？）

同样，用7升的桶和11升的桶得到2升水可以这样做：

7 % 11 = 7

14 % 11 = 3

21 % 11 = 10

28 % 11 = 6

35 % 11 = 2

成功得到2升水。

/**************************************************************** 
 * Description: 2022_S_finish_2
 * Author: Alex Li
 * Date: 2023-08-30 11:24:50
 * LastEditTime: 2023-08-31 09:30:51
****************************************************************/
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 110;

int f[N][N];//f[i][j]是在容器1有i升水，容器2有j升水，的情况下，达到目标c的次数。
int ans;
int a, b, c;
int init;

int dfs(int x, int y) {
    if (f[x][y] != init)//记忆化搜索，f[x][y]之前访问过，直接返回结果
        return f[x][y];
    if (x == c || y == c) //容器1或容器2是c，还需0次。
        return f[x][y] = 0;
    f[x][y] = init - 1;//初始值是极大值-1，之后滚动比较求最小值 
    f[x][y] = min(f[x][y], dfs(a, y) + 1);  //FILL[1]操作
    f[x][y] = min(f[x][y], dfs(x, b) + 1);  //FILL[2]操作
    f[x][y] = min(f[x][y], dfs(0, y) + 1);  //DROP[1]操作
    f[x][y] = min(f[x][y], dfs(x, 0) + 1);  //DROP[2]振作
    int t = min(a - x, y);
    f[x][y] = min(f[x][y], dfs(x + t, y - t) + 1); //POUR(2,1)从容器2向容器1倒水
    t = min(x, b - y);
    f[x][y] = min(f[x][y], dfs(x - t, y + t) + 1);//POUR(1,2)从容器1向容器2倒水
    return f[x][y];
}

//根据f[x][y]输出步骤
void go(int x, int y) {
    if (x == c || y == c)
        return;
    if (f[x][y] == dfs(a, y) + 1) {
        cout << "FILL(1)" << endl;
        go(a, y);
    } else if (f[x][y] == dfs(x, b) + 1) {
        cout << "FILL(2)" << endl;
        go(x, b);
    } else if (f[x][y] == dfs(0, y) + 1) {
        cout << "DROP(1)" << endl;
        go (0, y);
    } else if (f[x][y] == dfs(x, 0) + 1) {
        cout << "DROP(2)" << endl;
        go(x, 0);
    } else {
        int t = min(a - x, y);
        if(f[x][y] == dfs(x + t, y - t) + 1) {
            cout << "POUR(2,1)" << endl;
            go(x + t, y - t);
        } else {
            t = min(x, b - y);
            if (f[x][y] ==dfs(x - t, y + t) + 1) {
                cout << "POUR(1,2)" << endl;
                go(x - t, y + t);
            } else
                assert(0);
        }
    }
}

int main() {
    cin >> a >> b >> c;
    ans = 1 << 30;
   memset(f, 127, sizeof f); //初始化,极大值， 0x7f7f7f7f
    init = **f;//  init=f[0][0]  二维数组和指印
    if ((ans = dfs (0, 0)) == init - 1)//若ans是init-1没有被更新
        cout << "impossible";
    else {
        cout << ans << endl;
    //输出步骤
       go (0, 0);
    }
}

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